Krátká odpověď: Ano.

Delší odpověď:

Zvažte závislou proměnnou $ y $ skládající se z kategorií $ J $, než by model multinomiální logit modeloval pravděpodobnost, že $ y $ spadá do kategorie $ m $ jako:

$ \ mathrm {Pr} (y = m | x) = \ frac {\ exp (x \ beta_m)} {\ sum_ {j = 1} ^ J \ exp (x \ beta_j)} $

kde $ \ beta_1 = 0 $.

Takže pokud $ y $ má tři kategorie (1,2,3), můžete získejte tři pravděpodobnosti jako:

$ \ mathrm {Pr} (y = 1 | x) = \ frac {\ exp (x0)} {\ exp (x0) + \ exp (x \ beta_2) + \ exp (x \ beta_3)} = \ frac {1} {1 + \ exp (x \ beta_2) + \ exp (x \ beta_3)} $

$ \ mathrm {Pr} (y = 2 | x) = \ frac {\ exp (x \ beta_2)} {1 + \ exp (x \ beta_2) + \ exp (x \ beta_3)} $

$ \ mathrm {Pr} (y = 3 | x) = \ frac {\ exp (x \ beta_3)} {1 + \ exp (x \ beta_2) + \ exp (x \ beta_3)} $

Ve vašem zvláštním případě kde $ y $ má dvě kategorie, které s tím souvisí:

$ \ mathrm {Pr} (y = 1 | x) = \ frac {1} {1 + \ exp (x \ beta_2)} $

$ \ mathrm {Pr} (y = 2 | x) = \ frac {\ exp (x \ beta_2)} {1 + \ exp (x \ beta_2)} $

Toto je přesně binární logistická regrese.

Přijatá odpověď i odpověď Francka jsou úžasné, ale chci trochu podrobně popsat proces odečítání v $ \ beta $. A doufám, že moje odpověď bude snadno čitelná.

Obecná rovnice pro pravděpodobnost pádu závislé proměnné $ Y_i $ do kategorie $ c $ (ve všech kategoriích $ K $), vzhledem k vzorku (pozorování) $ X_i $, je definována jako :
$$ Pr (Y_i = c) = \ frac {e ^ {\ beta_c * X_i}} {\ sum ^ K_ {k = 1} e ^ {\ beta_k * X_i}} $$

Protože pro všechny $ Y_i $ je $ \ sum ^ K_ {k = 1} Pr (Y_i = k) $ 1, pak musí existovat určitý $ Pr (Y_i = c) $, který je určen všemi pravděpodobnosti odpočinku (když $ k \ neq c $). Výsledkem je, že pro každý vzorek $ X_i $ existují pouze $ K-1 $ samostatně specifikovatelné koeficienty ($ \ beta $).

Podle charakteristik výše uvedené rovnice zůstává pravděpodobnost stejná, pokud odečteme konstantu od každé položky ve vektoru $ \ beta $. To je:

$$ \ frac {e ^ {(\ beta_c + C) * X_i}} {\ sum ^ K_ {k = 1} e ^ {(\ beta_k + C) * X_i} } = \ frac {e ^ {C * X_i} e ^ {\ beta_cX_i}} {e ^ {C * X_i} \ sum ^ K_ {k = 1} e ^ {\ beta_k * X_i}} = \ frac {e ^ {\ beta_cX_i}} {\ sum ^ K_ {k = 1} e ^ {\ beta_kX_i}} $$

Pak je pro nás rozumné vydělat $ C = - \ beta_K $ (alternativně libovolné other $ k $), což má za následek, že položka Kth nového koeficientu pro každý vektor bude $ \ beta $ 0 (pouze kategorie $ K-1 $ jsou nyní považovány za samostatně specifikovatelné).

$ \ beta'_1 = \ beta_1- \ beta_K $
......
$ \ beta '_ {K-1} = \ beta_ {K-1} - \ beta_K $
$ \ beta'_K = \ beta_K- \ beta_K = 0 $

Proto můžeme přenést první obecnou rovnici ve formě:
$$ Pr (Y_i = c ) = \ frac {e ^ {\ beta'_c * X_i}} {e ^ {0 * X_i} + \ sum ^ {K-1} _ {k = 1} e ^ {\ beta'_k * X_i}} = \ frac {e ^ {\ beta'_c * X_i}} {1+ \ sum ^ {K-1} _ {k = 1} e ^ {\ beta'_k * X_i}} $$

Když máme dvě kategorie, tedy když je distribuce závislé proměnné binomické, nebo $ K = 2 $, máme (pokud je kategorie Kth, když $ Y_i = 2 $):
$$ Pr ( Y_i = 1) = \ frac {e ^ {\ beta'_1 * X_i}} {1 + e ^ {\ beta'_1 * X_i}} = \ frac {1} {1 + e ^ {- \ beta'_1 * X_i}} $$ a $$ Pr (Y_i = 2) = 1-Pr (Y_i = 1) $$

To jsou známé rovnice, které vidíte v binomické logistické regrese.

Reference: https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_logistic_regression