$ N $ je velikost populace a $ n $ je velikost vzorku. Otázka se ptá, proč je populační rozptyl střední kvadratickou odchylkou od průměru, spíše než $ (N-1) / N = 1- (1 / N) $ krát. Proč tedy zůstat u toho? Proč nevynásobit střední kvadratickou odchylku například $ 1-2 / N $, nebo $ 1-17 / N $, nebo $ \ exp (-1 / N) $?

Ve skutečnosti je dobrá důvod ne. Kterákoli z těchto čísel, kterou jsem právě zmínil, by v pohodě posloužila jako způsob kvantifikace „typického rozšíření“ v populaci. Bez předchozí znalosti velikosti populace by však bylo nemožné použít náhodný vzorek k nalezení nezaujatého odhadce takového čísla. Víme, že ukázkový rozptyl, který vynásobí střední kvadratickou odchylku od střední hodnoty vzorku o $ (n-1) / n $, je nestranný odhad obvyklé populační odchylky při vzorkování s náhradou. (S provedením této opravy není problém, protože víme $ n $!) Varianta vzorku by proto byla zkreslený odhad jakéhokoli násobku varianty populace, kde tento násobek, například $ 1-1 / N $, není předem přesně znám.

Tento problém s neznámým množstvím zkreslení by se rozšířil na všechny statistické testy, které používají rozptyl vzorku, včetně t-testů a F-testů. Ve skutečnosti by dělení na cokoli jiného než $ N $ ve vzorci rozptylu populace vyžadovalo, abychom změnili všechny statistické tabulky t-statistik a F-statistik (a také mnoho dalších tabulek), ale úprava by závisela na velikost populace. Nikdo nechce, aby musel vytvářet tabulky za každých možných $ N $! Zvláště když to není nutné.

Je praktické, když je $ N $ dostatečně malé, že použití $ N-1 $ místo $ N $ ve vzorcích má rozdíl, obvykle znáte velikost populace (nebo můžete uhodněte to přesně) a při práci s náhodnými vzorky (bez náhrady) z populace byste se pravděpodobně uchýlili k mnohem podstatnějším opravám malé populace. Ve všech ostatních případech, koho to zajímá? Na rozdílu nezáleží. Z těchto důvodů, vedených pedagogickými úvahami (jmenovitě zaměřením na detaily, na kterých záleží, a přehlížením detailů, které ne), se některé vynikající úvodní statistické texty ani neobtěžují učit rozdíl: jednoduše zadejte jeden varianční vzorec (vydělte případně $ N $ nebo $ n $).

Místo matematiky to zkusím vyjádřit prostými slovy. Pokud máte k dispozici celou populaci, vypočítá se její odchylka ( varianta populace ) s jmenovatelem N . Podobně, pokud máte pouze vzorek a chcete vypočítat tuto rozptyl vzorku , použijte jmenovatel N (v tomto případě n vzorku) . V obou případech nic neodhadnete : průměr, který jste změřili, je skutečný průměr a rozptyl, který jste z tohoto průměru vypočítali, je skutečný rozptyl.

Nyní , máte pouze vzorek a chcete odvodit neznámý průměr a rozptyl v populaci. Jinými slovy, chcete odhady . Vezmete si svůj průměr vzorku pro odhad střední hodnoty populace (protože váš vzorek je reprezentativní), OK. Chcete-li získat odhad rozptylu populace, musíte předstírat, že tento průměr je ve skutečnosti průměrem populace, a proto již nezávisí na vašem vzorku od doby, kdy jste jej vypočítali. Chcete-li „ukázat“, že to nyní berete jako opravené, rezervujete si jedno (jakékoli) pozorování ze svého vzorku, abyste „podpořili“ hodnotu průměru: ať už se váš vzorek mohl stát jakýkoli, jedno vyhrazené pozorování může vždy přinést průměr hodnotě, kterou jste Dostali jsme a kteří věří, že jsou necitlivé na vzorkování nepředvídaných událostí. Jedno vyhrazené pozorování je „-1“, takže při výpočtu odhadu odchylky máte N-1 . Nestranný odhad se nazývá rozptyl vzorku (nezaměňovat s rozptylem vzorku), což je argot; je lepší nazvat tím, čím je: vzorek nezaujatý odhad rozptylu populace odhadovaný se střední hodnotou vzorku.

[Vkládám sem z mých níže uvedených komentářů: Představte si, že opakovaně odebíráte vzorky o velikosti N = 3 . Ze 3 hodnot ve vzorku pouze 2 hodnoty vyjadřují náhodnou odchylku pozorování od populace střední hodnoty, levá však vyjadřuje (bere na sebe) posun střední hodnoty z průměrné populace. „Stupeň volné“ pozorovací variability je tedy 2 ze 3 v každém samostatném vzorku. Když odhadujeme variabilitu na vzorku, ale chceme, aby to byl nezaujatý (nezměněný) odhad populační variability, „věříme“ pouze těm 2 volným pozorováním. „Platíme“ za rozhodnutí měřit variabilitu z výběrového průměru jako to byl průměr populace, protože musíme odvodit populační variabilitu. Tento „poplatek“ ( N-1 jmenovatel, korekce Bessel) rozšiřuje variabilitu a zahrnuje do ní rozptyl oscilačních vzorových prostředků, ale činí takovou odchylku nestrannou odhadce.]

Představte si však, že nyní nějak víte, že skutečná střední hodnota populace znamená, ale chcete odhadnout odchylku od vzorku. Potom tento skutečný průměr dosadíte do vzorce pro rozptyl a použijete jmenovatel N : není zde potřeba „-1“, protože znáte skutečný průměr, ne odhadněte to ze stejného vzorku.

Obecně platí, že pokud má člověk pouze zlomek populace, tj. vzorek, měli byste jej vydělit n-1. Existuje k tomu dobrý důvod, víme, že rozptyl vzorku, který vynásobí střední kvadratickou odchylku od průměru vzorku o (n − 1) / n, je nestranný odhad rozptylu populace.

Důkaz, že odhad variance vzorku je nestranný, najdete zde: https://economictheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Dále, pokud jedním z nich bylo použití odhadu rozptylu populace, tj. verze odhadu rozptylu, která vydělí n, na vzorku namísto populace by byl získaný odhad zkreslený.

V minulosti existoval argument, že byste měli použít N pro neinferenční odchylku, ale to bych už nedoporučoval. Vždy byste měli používat N-1. Jak se zmenšuje velikost vzorku, N-1 je docela dobrá korekce na to, že se rozptyl vzorku sníží (je větší pravděpodobnost, že budete vzorkovat blízko vrcholu distribuce - viz obrázek). Pokud je velikost vzorku opravdu velká, nezáleží na žádném smysluplném množství.

Alternativním vysvětlením je, že populace je teoretický konstrukt, kterého nelze dosáhnout. Proto vždy používejte N-1, protože ať děláte cokoli, v nejlepším případě odhadujte rozptyl populace.

Rovněž uvidíte N-1 pro odhady rozptylu odtud dále s. Pravděpodobně se s tímto problémem nikdy nestretnete ... kromě testu, kdy vás váš učitel může požádat, abyste rozlišovali mezi inferenční a neinferenční mírou odchylky. V takovém případě nepoužívejte odpověď Whubera ani moji, podívejte se na odpověď ttnphns.

Poznámka, na tomto obrázku by měla být odchylka blízká 1. Podívejte se, kolik liší se podle velikosti vzorku, když používáte N k odhadu rozptylu. (toto je „zkreslení“ zmiňované všude)

Rozptyl populace je součet čtverců odchylek všech hodnot v populaci děleno počtem hodnot v populaci. Když odhadujeme rozptyl populace ze vzorku, setkáme se s problémem, že odchylky hodnot vzorku od průměru vzorku jsou v průměru o něco menší než odchylky těchto hodnot vzorku od ( skutečný průměr populace. To má za následek, že rozptyl vypočítaný ze vzorku je o něco menší než skutečný rozptyl populace. Použitím dělitele n-1 namísto n se toto podhodnocení opraví.