Předpokládejme, že se jedná o model fixních efektů. (Rada se u modelů s náhodnými efekty ve skutečnosti nemění, je to jen trochu komplikovanější.)

1. Ne, normálnost a normální rozdělení zbytků nejsou stejné . Předpokládejme, že jste změřili výnos z plodiny s aplikací hnojiva i bez ní. U ploch bez hnojiva se výtěžek pohyboval od 70 do 130. U dvou ploch s hnojivem se výtěžek pohyboval od 470 do 530. Rozdělení výsledků je silně neobvyklé: je seskupeno na dvou místech souvisejících s aplikací hnojiva. Předpokládejme dále, že průměrné výnosy jsou 100, respektive 500. Potom se všechny zbytky pohybují od -30 do +30. Mohou (nebo nemusí) být běžně distribuovány, ale je zřejmé, že se jedná o úplně jinou distribuci.

2. Na distribuci reziduí záleží protože odrážejí náhodnou část modelu. Všimněte si také, že p-hodnoty se počítají ze statistik F (nebo t) a ty závisí na zbytcích, nikoli na původních hodnotách.

3. Pokud existují významné a důležité účinky v data (jako v tomto příkladu), pak můžete možná dělat „závažnou“ chybu . Naštěstí byste mohli udělat správné určení: to znamená, že při pohledu na nezpracovaná data uvidíte směs distribucí a to může vypadat normálně (nebo ne). Jde o to, že to, co hledáte, není relevantní.

Zbytky ANOVA nemusí být nikde blízko normálu, aby se vešly do modelu. Téměř normálnost reziduí je však zásadní , aby hodnoty p vypočítané z F-distribuce byly smysluplné.

Standardní klasickou jednosměrnou ANOVA lze považovat za rozšíření klasického „2-vzorkového T-testu“ k „n-vzorovému T-testu“. To je patrné z porovnání jednosměrné ANOVA s pouhými dvěma skupinami s klasickým 2-vzorkovým T-testem.

Myslím, že kde se mátnete, je to (za předpokladu modelu) zbytky a nezpracovaná data jsou OBOU normálně distribuována. Nezpracovaná data se však skládají z běžných distribucí s různými prostředky (pokud nejsou všechny efekty přesně stejné), ale s stejnou odchylkou. Zbytky na druhé straně mají stejné normální rozdělení . Vychází to ze třetího předpokladu homoscedasticity.

Je to proto, že normální rozdělení je rozložitelné na střední a variační složky. Pokud má $ Y_ {ij} $ normální rozdělení se střední hodnotou $ \ mu_ {j} $ a odchylkou $ \ sigma ^ 2 $ lze zapsat jako $ Y_ {ij} = \ mu_ {j} + \ sigma \ epsilon_ {ij } $ kde $ \ epsilon_ {ij} $ má standardní normální rozdělení.

I když je ANOVA odvozitelná z předpokladu normality, myslím si (ale nejsem si jist), že ji lze nahradit předpokladem linearity ( podél nejlepších lineárních nestranných odhadů (MODRÝCH) řádků odhadu, kde „BEST“ je interpretováno jako minimální střední kvadratická chyba). Věřím, že to v zásadě zahrnuje nahrazení distribuce pro $ \ epsilon_ {ij} $ jakoukoli vzájemně nezávislou distribucí (přes všechny i a j ), které má průměr 0 a rozptyl 1.

Pokud jde o prohlížení vašich nezpracovaných dat, mělo by to vypadat normálně při samostatném vykreslování pro každou úroveň faktoru ve vašem modelu . To znamená vykreslení $ Y_ {ij} $ pro každý j na samostatný graf.

V jednosměrném případě se skupinami $ p $ o velikosti $ n_ {j} $: $ F = \ frac {SS_ {b} / df_ {b}} {SS_ {w} / df_ {w}} $ where

$ SS_ {b} = \ sum_ {j = 1} ^ {p} {n_ {j} (M - M_ {j}}) ^ {2} $ a

$ SS_ {w} = \ sum_ {j = 1} ^ {p} \ sum_ {i = 1} ^ {n_ {j}} {(y_ {ij} - M_ {j}) ^ {2} } $

$ F $ sleduje distribuci $ F $, pokud $ SS_ {b} / df_ {b} $ a $ SS_ {w} / df_ {w} $ jsou nezávislé, $ \ chi ^ {2} $ - distribuované proměnné s $ df_ {b} $ a $ df_ {w} $ stupně volnosti. To je případ, kdy $ SS_ {b} $ a $ SS_ {w} $ jsou součtem čtverců nezávislých normálních proměnných se střední hodnotou $ 0 $ a stejnou stupnicí. Proto musí být $ M-M_ {j} $ a $ y_ {ij} -M_ {j} $ normálně distribuovány.

$ y_ {i (j)} - M_ {j} $ je reziduum z celého modelu ($ Y = \ mu_ {j} + \ epsilon = \ mu + \ alpha_ {j} + \ epsilon $), $ y_ {i (j)} - M $ je reziduum z omezeného modelu ($ Y = \ mu + \ epsilon $). Rozdíl těchto reziduí je $ M - M_ {j} $.

EDIT, aby odrážel objasnění pomocí @onestop: pod $ H_ {0} $ jsou všechny opravdové skupinové prostředky stejné (a tedy rovné $ M $), tedy normalita reziduí na úrovni skupiny $ y_ {i (j)} - M_ {j} $ implikuje také normalitu $ M - M_ {j} $. Samotné hodnoty DV nemusí být normálně distribuovány.